設(shè)函數(shù)f（x）在定義域D上滿足f(
1
2
)=-1，f(x)≠0，且當(dāng)x，y∈D時，f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，若數(shù)列{xn}中，x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
(xn∈D，n∈N*)，則數(shù)列{f（xn）}的通項公式為
f（xn）=-2n-1
f（xn）=-2n-1
．
分析：在f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，中，令x=y=xn，由數(shù)列{xn}中，x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
(xn∈D，n∈N*)，得2f（xn）=f（
2xn
1+xn2
）=f（xn+1），所以
f(xn+1)
f(xn)
=2，由f(x1) =f(
1
2
) =-1，能求出f（xn）．
解答：解：∵函數(shù)f（x）在定義域D上滿足f(
1
2
)=-1，f(x)≠0，
且當(dāng)x，y∈D時，f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，
數(shù)列{xn}中，x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
(xn∈D，n∈N*)，
∴2f（xn）=f（
2xn
1+xn2
）=f（xn+1），
∴
f(xn+1)
f(xn)
=2，
∵f(x1) =f(
1
2
) =-1，
∴f（xn）=-2n-1．
故答案為：f（xn）=-2n-1．
點評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結(jié)合含兩個變量的不等式的處理問題，數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0）時，f(x)=
a
x
-x2（a為實數(shù)）．
（1）若f(
1
2
)=-2，求a的值；
（2）當(dāng)x∈（0，1]時，求f（x）的解析式；
（3）當(dāng)a＞2時，試判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK（x）=
f(x)，f(x)≤K
K，f(x)＞K.
取函數(shù)f（x）=2-|x|．當(dāng)K=
1
2
時，函數(shù)fK（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　�。�
A、（-∞，0）
B、（0，+∞）
C、（-∞，-1）
D、（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)：fK（x）=
f(x)，f(x)≤K
1
f(x)
，f(x)＞K
，取函數(shù)f（x）=a11（a＞1）．當(dāng)K=
1
a
時，函數(shù)f（x）值域是（　　）
A、[0，
1
a
]∪[1，a）
B、（0，
1
a
]∪[1，a]
C、（0，1]∪[
1
a
，a）
D、（0，
1
a
]∪[1，a）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•浙江）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x+1，則f(
3
2
)=
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的增函數(shù)，是否存在這樣的實數(shù)a，使得不等式f（1-ax-x2）＜f（2-a）對于任意x∈[0，1]都成立？若存在，試求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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