(2009•金山區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=loga
1-mxx-1
在定義域D上是奇函數(shù),(其中a>0且a≠1).
(1)求出m的值,并求出定義域D;
(2)判斷f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性,并加以證明;
(3)當(dāng)x∈(r,a-2)時(shí),f(x)的值的范圍恰為(1,+∞),求a及r的值.
分析:(1)由函數(shù)f(x)是奇函數(shù),可得出f(-x)=-f(x),由此方程恒成立,可得出參數(shù)m的方程,解出參數(shù)的值,再由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0得出x的不等式,解出函數(shù)的定義域即可;
(2)由于本題中參數(shù)a的取值范圍未定,故應(yīng)對(duì)它的取值范圍分類討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性再進(jìn)行證明;
(3)由題設(shè)x∈(r,a-2)時(shí),f(x)的值的范圍恰為(1,+∞),可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定出兩個(gè)參數(shù)a及r的方程,解方程得出兩個(gè)參數(shù)的值.
解答:解:(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),
所以loga
1-mx
x-1
=loga
-x-1
1+mx
,…(2分)
即1-m2x2=1-x2對(duì)一切x∈D都成立,…(3分)
所以m2=1,m=±1,…(4分)
由于
1-mx
x-1
>0,所以m=-1…(5分)
所以f(x)=loga
1+x
x-1
,D=(-∞,-1)∪(1,+∞)…(6分)
(2)當(dāng)a>1時(shí),f(x)=loga
1+x
x-1
,任取x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,…(7分)
則f(x1)-f(x2)=loga
1+x1
x1-1
-loga
1+x2
x2-1
=loga
2
x1-1
+1)-loga
2
x2-1
+1)…(9分)
由于x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,所以
2
x1-1
+1>
2
x2-1
+1,得f(x1)>f(x2),…(10分)
【注】只要寫出x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,f(x1)-f(x2)=…=…,得出f(x1)>f(x2)即可.
即f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減…(11分)
同理可得,當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增 …(13分)
(3)因?yàn)閤∈(r,a-2),定義域D=(-∞,-1)∪(1,+∞),
1°當(dāng)r≥1時(shí),則1≤r<a-2,即a>3,…(14分)
所以f(x)在(r,a-2)上為減函數(shù),值域恰為(1,+∞),所以f(a-2)=1,…(15分)
即loga
1+a-2
a-2-1
=loga
a-1
a-3
=1,即
a-1
a-3
=a,…(16分)
所以a=2+
3
且r=1 …(18分)
2°當(dāng)r<1時(shí),則(r,a-2)?(-∞,-1),所以0<a<1
因?yàn)閒(x)在(r,a-2)上為增函數(shù),
所以f(r)=1,a-2=-1,
解得a=1與a>0且a≠1矛盾(舍) …(20分)
點(diǎn)評(píng):本題考察對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用,解答本題關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的證明方法,單調(diào)性的運(yùn)用等結(jié)論,本題中第三小問是難點(diǎn),第二問證明較繁瑣,是本題的重點(diǎn).本題考察了打理證明的能力,等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力以及轉(zhuǎn)化的思想
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2010=
-1
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