Question

在數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，S_n為其前n項(xiàng)和，向量

AB

=（S_n，p²-a_n），

CD

=（1，p-1），且

AB

∥

CD

，其中p＞0且p≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若p=

1

2

，數(shù)列{b_n}滿足對(duì)任意n∈N^*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-

1

2

n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和
T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出（p-1）a_n+1=a_n-a_n+1，從而得到an+1=

1

p

an，由此求出an=(

1

p

)n-2，n∈N^*．
（2）當(dāng)p=

1

2

時(shí)，an=2n-2，n∈N^*，由已知條件求出b₁=1，由b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_n-1a₂+b_na₁=2n-

1

2

n-1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵

AB

∥

CD

，∴（p-1）S_n=p²-a_n，
由n=1，(p-1)a1=p2-a1，解得a₁=p，
又由

(p-1)Sn=p2-an (p-1)Sn+1=p2-an+1

，
兩式相減得：（p-1）a_n+1=a_n-a_n+1，∴an+1=

1

p

an，
∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)為p，公比為

1

p

的等比數(shù)列，
∴an=(

1

p

)n-2，n∈N^*．
（2）當(dāng)p=

1

2

時(shí)，an=2n-2，n∈N^*，
在b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2n-

1

2

n-1中，
令n=1，則b1a1=2-

1

2

-1=

1

2

，
∵a1=

1

2

，∴b₁=1，
∵b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_n-1a₂+b_na₁=2n-

1

2

n-1，①
∴b₁a_n-1+b₂a_n-2+…+b_n-2a₂+b_n-1a₁=2n-1-

1

2

n-

1

2

，n≥2，
將上式兩邊同乘公比

1

p

=2得，
b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_n-1a₂=2ⁿ-n-1，（n≥2），②
①減去②得，bna1=

n

2

，∴b_n=n，n≥2，又b₁=1，∴b_n=n，n∈N^*，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

n(n+1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．