Question

已知函數f（x）=ax²+

b

x

+5（其中常數a，b∈R）滿足f（2）+f（-2）=26．
（1）若f（-1）=-2000，求f（1）；
（2）若b=-3，證明：f（x）恰有一個零點．
（3）若函數φ（x）=xf（x）+2^x+2^-x（x∈（0，1））的值域為（0，

15

2

），求b的值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據條件建立方程求出a的值，根據f（-1）=-2000，即可求f（1）；
（2）若b=-3，根據函數零點的判斷方法即可證明f（x）恰有一個零點．
（3）根據函數的單調性的定義判斷函數的單調性，結合值域關系即可得到結論．

解答： 解：（1）由f(2)=4a+

b

2

+5，f(-2)=4a-

b

2

+5，得f（2）+f（-2）=8a+10
因為f（2）+f（-2）=26，所以8a+10=26，a=2
所以f（1）+f（-1）=a+b+5+a-b+5=2a+10=14
又f（-1）=-2000，故f（1）=2014
（2）由（1）得a=2，又b=-3，所以f(x)=2x2-

3

x

+5
當x＜0時，f（x）＞0恒成立，
所以f（x）在f(

1

2

)=

3

2

＞0，f(

1

4

)=-

23

8

＜0上沒有零點；
當x＞0時，由于函數y=2x²+5與函數y=-

3

x

均在（0，+∞）上單調遞增，
所以f(2)=2x2-

3

x

+5在（0，+∞）上單調遞增．
且f(1)=4＞0，f(

1

2

)=-

1

2

＜0，即f(1)•f(

1

2

)＜0
所以f（x）恰有一個零點．
（3）由（1）得a=2，所以ϕ（x）=2x³+5x+b+2^x+2^-x
令h（x）=2^x+2^-x，設0≤x₁＜x₂≤1，
則 h(x1)-h(x2)=2x1+2-x1-2x2-2-x2=

(2x1-2x2)(2x1+x2-1)

2x1+x2

因為0≤x₁＜x₂≤1，所以2x1-2x2＜0，2x1+x2-1＞0
所以h（x₁）-h（x₂）＜0，即h（x₁）＜h（x₂），所以h（x）在（0，1）上為增函數，
又因為函數y=2x³與函數y=5x+b在（0，1）上均為增函數，所以ϕ（x）在（0，1）上為增函數，
所以ϕ（x）在（0，1）上的值域為(b+2，b+

19

2

)，
又因為ϕ（x）在（0，1）上的值域為(0，

15

2

)，所以

b+2=0 b+ 19 2 = 15 2

，解得b=-2，
所以b的值是-2．

點評：本題主要考查函數性質的綜合應用，求出函數的解析式是解決本題的關鍵．要求熟練掌握函數性質的綜合應用．