已知函數(shù)f(x)=ax2+
b
x
+5(其中常數(shù)a,b∈R)滿足f(2)+f(-2)=26.
(1)若f(-1)=-2000,求f(1);
(2)若b=-3,證明:f(x)恰有一個零點.
(3)若函數(shù)φ(x)=xf(x)+2x+2-x(x∈(0,1))的值域為(0,
15
2
),求b的值.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)根據(jù)條件建立方程求出a的值,根據(jù)f(-1)=-2000,即可求f(1);
(2)若b=-3,根據(jù)函數(shù)零點的判斷方法即可證明f(x)恰有一個零點.
(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合值域關(guān)系即可得到結(jié)論.
解答: 解:(1)由f(2)=4a+
b
2
+5,f(-2)=4a-
b
2
+5
,得f(2)+f(-2)=8a+10
因為f(2)+f(-2)=26,所以8a+10=26,a=2
所以f(1)+f(-1)=a+b+5+a-b+5=2a+10=14
又f(-1)=-2000,故f(1)=2014
(2)由(1)得a=2,又b=-3,所以f(x)=2x2-
3
x
+5

當x<0時,f(x)>0恒成立,
所以f(x)在f(
1
2
)=
3
2
>0,f(
1
4
)=-
23
8
<0
上沒有零點;
當x>0時,由于函數(shù)y=2x2+5與函數(shù)y=-
3
x
均在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以f(2)=2x2-
3
x
+5
在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
f(1)=4>0,f(
1
2
)=-
1
2
<0
,即f(1)•f(
1
2
)<0

所以f(x)恰有一個零點.
(3)由(1)得a=2,所以ϕ(x)=2x3+5x+b+2x+2-x
令h(x)=2x+2-x,設(shè)0≤x1<x2≤1,
則 h(x1)-h(x2)=2x1+2-x1-2x2-2-x2=
(2x1-2x2)(2x1+x2-1)
2x1+x2

因為0≤x1<x2≤1,所以2x1-2x2<0,2x1+x2-1>0
所以h(x1)-h(x2)<0,即h(x1)<h(x2),所以h(x)在(0,1)上為增函數(shù),
又因為函數(shù)y=2x3與函數(shù)y=5x+b在(0,1)上均為增函數(shù),所以ϕ(x)在(0,1)上為增函數(shù),
所以ϕ(x)在(0,1)上的值域為(b+2,b+
19
2
)
,
又因為ϕ(x)在(0,1)上的值域為(0,
15
2
)
,所以
b+2=0
b+
19
2
=
15
2
,解得b=-2,
所以b的值是-2.
點評:本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.要求熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a4=S2,a2n+2=2an
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=
4
anan+1
,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn,并求Tn的取值范圍.

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畫出不等式組
x≥0
y>-2
2x-y+4≥0
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如圖,正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直,M是CE和AD的交點,AC⊥BC,且AC=BC.
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設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=
4
3
an-
1
3
×2n+1+
2
3
(n∈N*),
(Ⅰ)求a1及數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)記bn=
2n
Sn
(n∈N*)證明:b1+b2+…+bn
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C1的參數(shù)方程為
x=2cosφ
y=2sinφ
(φ為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C2的極坐標方程為ρ=4sin(θ+
π
3
).
(1)將圓C1的參數(shù)方程化為普通方程,將圓C2的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)圓C1,C2是否相交?若相交,請求出公共弦長,若不相交,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,an>0,Sn為其前n項和,向量
AB
=(Sn,p2-an),
CD
=(1,p-1),且
AB
CD
,其中p>0且p≠1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若p=
1
2
,數(shù)列{bn}滿足對任意n∈N*,都有b1an+b2an-1+…+bna1=2n-
1
2
n-1,求數(shù)列{bn}的前n項和
Tn

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已知三個數(shù)-3,x,-12成等比數(shù)列,該數(shù)列公比q=
 

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