Question

6．已知P（0，-1）是橢圓C的下頂點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，直線PF與橢圓C的另一個交點為Q，滿足$\overrightarrow{PF}$=7$\overrightarrow{FQ}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，過左頂點A作斜率為k（k＞0）的直線l₁，l₂，直線l₁交橢圓C于點D，交y軸于點B．l₂與橢圓C的一個交點為E，求$\frac{|AD|+|AB|}{|OE|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，由$\overrightarrow{PF}$=7$\overrightarrow{FQ}$，求得Q的坐標，代入橢圓C的方程可得3a²=4c²，結合隱含條件求得a²，則橢圓方程可求；
（2）設直線l₁ 的方程為y=k（x+2），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求出D的橫坐標，可設直線l₂的方程y=kx，與橢圓方程聯(lián)立，求出E的橫坐標，結合l₁∥l₂，得$\frac{|AD|+|AB|}{|OE|}$=$\frac{|{x}_{D}-{x}_{A}|+|{x}_{B}-{x}_{A}|}{|{x}_{E}|}$=$\frac{{x}_{D}-2{x}_{A}}{|{x}_{E}|}$，代入點的坐標，化簡整理后利用基本不等式求得最小值．

解答 解：（1）由題意設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，且F（c，0），則由$\overrightarrow{PF}$=7$\overrightarrow{FQ}$，知Q（$\frac{8c}{7}，\frac{1}{7}$）．
代入橢圓C的方程，$\frac{64{c}^{2}}{49{a}^{2}}-\frac{1}{49}=1$，化簡得：3a²=4c²，
又b²=a²-c²=1，∴a²=4．
從而橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）設直線l₁ 的方程為y=k（x+2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（x+2）[4k²（x+2）+（x-2）]=0．
∴${x}_{A}=-2，{x}_{D}=\frac{-8{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+1}$，
直線l₂的方程可設為y=kx，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得E點的橫坐標${x}_{E}=\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$，
由l₁∥l₂，得$\frac{|AD|+|AB|}{|OE|}$=$\frac{|{x}_{D}-{x}_{A}|+|{x}_{B}-{x}_{A}|}{|{x}_{E}|}$=$\frac{{x}_{D}-2{x}_{A}}{|{x}_{E}|}$
=$\frac{\frac{-8{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+1}+4}{\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}}=\frac{4{k}^{2}+3}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}=\sqrt{4{k}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}≥2\sqrt{2}$．
當且僅當$\sqrt{4{k}^{2}+1}=\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$，即k=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴當k=$\frac{1}{2}$時，$\frac{|AD|+|AB|}{|OE|}$的最小值為$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，考查運算能力，屬中檔題．