Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，過(guò)左焦點(diǎn)F₁傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，可得：a，b，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．直線AB的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2$\sqrt{2}$），代入橢圓方程可得：4x²+12$\sqrt{2}$x+15=0，利用弦長(zhǎng)公式|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{3}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，即可得出．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，可得：a=3，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴直線AB的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2$\sqrt{2}$），
代入橢圓方程可得：4x²+12$\sqrt{2}$x+15=0，
∴x₁+x₂=-3$\sqrt{2}$，x₁•x₂=$\frac{15}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{3}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{4}{3}[（-3\sqrt{2}）^{2}-4×\frac{15}{4}]}$=2，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．