Question

18．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，以下命題正確的是（　�。�
①同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f（x-1）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)；
②函數(shù)f（x）的圖象既關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對(duì)稱(chēng)，對(duì)于任意x，又有f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{3}{2}$對(duì)稱(chēng)；
③函數(shù)f（x）對(duì)于任意x，滿(mǎn)足關(guān)系式f（x+2）=-f（-x+4），則函數(shù)y=f（x+3）是奇函數(shù)．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 由y=f（x）與y=f（-x）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，同時(shí)結(jié)合函數(shù)的圖象平移判斷①；由函數(shù)f（x）的圖象既關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對(duì)稱(chēng)，得f（$-\frac{3}{2}-x$）=-f（x），又f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），得f（$-\frac{3}{2}-x$）=f（x+$\frac{3}{2}$），即f（-x）=f（x），再由f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），可得函數(shù)周期T=3，進(jìn)一步得f（x+$\frac{3}{2}$）=f（$-\frac{3}{2}-x$）=f（x-$\frac{3}{2}$）判斷②；
由已知可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（3，0）對(duì)稱(chēng)，而函數(shù)y=f（x+3）是把y=f（x）向左平移3個(gè)單位得到的判斷③．

解答 解：對(duì)于①，∵y=f（x）與y=f（-x）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
而y=f（x-1）與y=f（1-x）都是y=f（x）與y=f（-x）向右平移1個(gè)單位得到的，
∴函數(shù)y=f（x-1）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，故①正確；
對(duì)于②，函數(shù)f（x）的圖象既關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對(duì)稱(chēng)，
則f（$-\frac{3}{2}-x$）=-f（x），而對(duì)于任意x，又有f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
∴f（$-\frac{3}{2}-x$）=f（x+$\frac{3}{2}$），即f（-x）=f（x），
又根據(jù)f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），可得函數(shù)周期T=3，∴f（x+$\frac{3}{2}$）=f（$-\frac{3}{2}-x$）=f（x-$\frac{3}{2}$），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{3}{2}$對(duì)稱(chēng)，則f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{3}{2}$對(duì)稱(chēng)，故②正確；
對(duì)于③，∵$\frac{（x+2）+（-x+4）}{2}=3$，∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（3，0）對(duì)稱(chēng)，
而函數(shù)y=f（x+3）是把y=f（x）向左平移3個(gè)單位得到的，
∴函數(shù)y=f（x+3）是奇函數(shù)，故③正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，若對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)變量x，都有①，f（x）=2b-f（2a-x），則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對(duì)稱(chēng)；②f（x）=f（2a-x），則函數(shù)圖形關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)．該題是中檔題．