Question

【題目】某健身館在2019年7、8兩月推出優(yōu)惠項(xiàng)目吸引了一批客戶.為預(yù)估2020年7、8兩月客戶投入的健身消費(fèi)金額，健身館隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了2019年7、8兩月100名客戶的消費(fèi)金額，分組如下：（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）若把2019年7、8兩月健身消費(fèi)金額不低于800元的客戶，稱為“健身達(dá)人”，經(jīng)數(shù)據(jù) 處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，請(qǐng)補(bǔ)全空格處的數(shù)據(jù)，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與性別有關(guān)？

	健身達(dá)人	非健身達(dá)人	總計(jì)
男	10
女		30
總計(jì)

（2）為吸引顧客，在健身項(xiàng)目之外，該健身館特別推出健身配套營(yíng)養(yǎng)品的銷售，現(xiàn)有兩種促銷方案.

方案一：每滿800元可立減100元；

方案二：金額超過(guò)800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)1次打9折，中獎(jiǎng)2次打8折，中獎(jiǎng)3次打7折.

若某人打算購(gòu)買1000元的營(yíng)養(yǎng)品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.

（3）在（2）中的方案二中，金額超過(guò)800元可抽獎(jiǎng)三次，假設(shè)三次中獎(jiǎng)結(jié)果互不影響，且三次中獎(jiǎng)的概率為，記為銳角的內(nèi)角，

求證：

附：

Answer 1

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與性別有關(guān)系；

（2）所以選擇方案二更劃算；

（3）見解析.

【解析】

（1）先根據(jù)題目完善表格，再根據(jù)公式計(jì)算出，與比較大小即可得出答案；

（2）若第一個(gè)方案，易得付款金額，第二個(gè)方案，設(shè)付款元，則可能取值為700，800，900，1000，求出分布列，計(jì)算出的期望值，比較大小即可；

（3）求出至少中一次的概率，通過(guò)可得答案.

（1）列聯(lián)表如下：

	健身達(dá)人	非健身達(dá)人	總計(jì)
男	10	40	50
女	20	30	50
總計(jì)	30	70	100

因?yàn)?/span>，

因此有的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與性別有關(guān)系；

（2）若選擇方案一：則需付款900元；

若選擇方案二：設(shè)付款元，則可能取值為700，800，900，1000.

，

，

，

，

所以（元），

因?yàn)?/span>，所以選擇方案二更劃算；

（3）∵是銳角三角形，

∴，則三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)中，該顧客至少中一次的概率為：

由概率的定義可知：，故有：

.