【題目】已知圓:,圓與圓關(guān)于直線:對稱.
(1)求圓的方程;
(2)過直線上的點分別作斜率為,4的兩條直線,,使得被圓截得的弦長與被圓截得的弦長相等.
(i)求點的坐標;
(ii)過點任作兩條互相垂直的直線分別與兩圓相交,判斷所得弦長是否恒相等,并說明理由.
【答案】(1) (2) (i).(ii)恒相等.見解析
【解析】
(1)根據(jù)軸對稱求得圓的圓心即可.
(2)由題,兩問均可設(shè)與過點任作兩條互相垂直的直線分別為,再由題意得到的距離與到的距離相等,列式求解與證明即可.
(1)設(shè),因為圓與圓關(guān)于直線:對稱,,
則直線與直線垂直,中點在直線上,得,
解得,所以圓:.
(2)(i)設(shè),的方程為,即;
的方程為,即.
因為被圓截得的弦長與被圓截得的弦長相等,且兩圓半徑相等,
所以到的距離與到的距離相等,即,
所以或.
由題意,到直線的距離,
所以不滿足題意,舍去,
故,點坐標為.
(ii)過點任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交,所得弦長恒相等.
證明如下:
當的斜率等于0時,的斜率不存在,被圓截得的弦長與被圓截得的弦長都等于圓的直徑;
當的斜率不存在,的斜率等于0時,與圓不相交,與圓不相交.
當、的斜率存在且都不等于0,兩條直線分別與兩圓相交時,設(shè)、的方程分別為
,,即,.
因為到的距離,
到的距離,所以到的距離與到的距離相等.
因為圓與圓的半徑相等,所以被圓截得的弦長與被圓截得的弦長恒相等.
綜上所述,過點任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交,所得弦長恒相等.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示圓錐中,為底面圓的兩條直徑,,且,,為的中點.求:
(1)該圓錐的表面積;
(2)異面直線與所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F(xiàn)分別在線段BC,AD上,EF∥AB,將矩形ABEF沿EF折起,記折起后的矩形為MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.
(1)在線段BC是否存在一點E,使得ND⊥FC ,若存在,求出EC的長并證明;
若不存在,請說明理由.
(2)求四面體NEFD體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列問題中,最適合用簡單隨機抽樣方法抽樣的是( )
A.某報告廳有排座位,每排有個座位,座位號是,有一次報告廳坐滿了觀眾,報告會結(jié)束以后聽取觀眾的意見,要留下名觀眾進行座談
B.從十臺冰箱中抽取臺進行質(zhì)量檢驗
C.某學(xué)校有在編人員人,其中行政人員人,教師人,后勤人員人.教育部門為了解大家對學(xué)校機構(gòu)改革的意見,要從中抽取容量為的樣本
D.某鄉(xiāng)農(nóng)田有山地畝,丘陵畝,平地畝,洼地畝,現(xiàn)抽取農(nóng)田畝估計全鄉(xiāng)農(nóng)田平均產(chǎn)量
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道,鏈接M,N兩地之間的鐵路是圓心在上的一段圓弧,若點M在O正北方向,且,點N到,距離分別為4km和5km.
建立適當?shù)淖鴺讼,求鐵路線所在圓弧的方程;
若該城市的某中學(xué)擬在O點正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問題,要求校址到點O的距離大于4km,并且鐵路線上任意一點到校址的距離不能少于,求該校址距離點O的最近距離.注:校址視為一個點
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的離心率為,以橢圓長、短軸四個端點為頂點為四邊形的面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖所示,記橢圓的左、右頂點分別為、,當動點在定直線上運動時,直線分別交橢圓于兩點、,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)+交通”模式的迅猛發(fā)展,“共享助力單車”在很多城市相繼出現(xiàn).某“共享助力單車”運營公司為了解某地區(qū)用戶對該公司所提供的服務(wù)的滿意度,隨機調(diào)查了200名用戶,得到用戶的滿意度評分,現(xiàn)將評分分為5組,如下表:
組別 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
滿意度評分 | |||||
頻數(shù) | 12 | 28 | 68 | 40 | |
頻率 | 0.06 | 0.34 | 0.2 |
(1)求表格中的,,的值;
(2)估計用戶的滿意度評分的平均數(shù);
(3)若從這200名用戶中隨機抽取50人,估計滿意度評分高于6分的人數(shù)為多少?
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