【題目】如圖所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F(xiàn)分別在線段BC,AD上,EF∥AB,將矩形ABEF沿EF折起,記折起后的矩形為MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.

(1)在線段BC是否存在一點E,使得ND⊥FC ,若存在,求出EC的長并證明;

若不存在,請說明理由.

(2)求四面體NEFD體積的最大值.

【答案】(1)見解析; (2).

【解析】

(1)EC=3時符合;連接ED,交FC于點O,先證明FC⊥平面NED,再證明ND⊥FC.(2) 設(shè)NE=x,則FD=EC=4-x,其中0<x<4,再求出,再利用基本不等式求四面體NEFD體積的最大值.

(1)證明:EC=3時符合;連接ED,交FC于點O,如圖所示.

∵平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,平面MNEF∩平面ECDF=EF,NE平面MNEF,∴NE⊥平面ECDF.

∵FC平面ECDF,∴FC⊥NE.

∵EC=CD,∴四邊形ECDF為正方形,∴FC⊥ED.

又∵ED∩NE=E,ED,NE平面NED,

∴FC⊥平面NED.

∵ND平面NED,∴ND⊥FC.

(2)設(shè)NE=x,則FD=EC=4-x,其中0<x<4,

由(1)得NE⊥平面FEC,

∴四面體NEFD的體積為,

所以,

當(dāng)且僅當(dāng)x=4-x,即x=2時,四面體NEFD的體積最大,最大值為2

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

(1)若直線與曲線恒相切于同一定點,求直線的方程;

(2)若當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)在定義域上的導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)沒有零點,且,當(dāng)上與上的單調(diào)性相同時,則實數(shù)的取值范圍是( )

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,是正方形所在平面外一點,在面上的投影為,,,有以下四個命題:

1;

2中點,且;

3)以,作為鄰邊的平行四邊形面積是32;

4的內(nèi)切球半徑為.

其中正確命題的個數(shù)為(

A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,為棱中點,底面是邊長為2的正方形,為正三角形,平面與棱交于點,平面與平面交于直線,且平面平面.

1)求證:;

2)求四棱錐的表面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某縣共有戶籍人口60萬,經(jīng)統(tǒng)計,該縣60歲及以上、百歲以下的人口占比,百歲及以上老人15人.現(xiàn)從該縣60歲及以上、百歲以下的老人中隨機抽取230人,得到如下頻數(shù)分布表:

年齡段(歲)

人數(shù)(人)

125

75

25

5

(1)從樣本中70歲及以上老人中,采用分層抽樣的方法抽取21人,進一步了解他們的生活狀況,則80歲及以上老人應(yīng)抽多少人?

(2)從(1)中所抽取的80歲及以上老人中,再隨機抽取2人,求抽到90歲及以上老人的概率;

(3)該縣按省委辦公廳、省人民政府辦公廳《關(guān)于加強新時期老年人優(yōu)待服務(wù)工作的意見》精神,制定如下老年人生活補貼措施,由省、市、縣三級財政分級撥款:

①本縣戶籍60歲及以上居民,按城鄉(xiāng)居民養(yǎng)老保險實施辦法每月領(lǐng)取55元基本養(yǎng)老金;

②本縣戶籍80歲及以上老年人額外享受高齡老人生活補貼;

(a)百歲及以上老年人,每人每月發(fā)放345元的生活補貼;

(b)90歲及以上、百歲以下老年人,每人每月發(fā)放200元的生活補貼;

(c)80歲及以上、90歲以下老年人,每人每月發(fā)放100元的生活補貼.

試估計政府執(zhí)行此項補貼措施的年度預(yù)算.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】圖1是由矩形和菱形組成的一個平面圖形,其中, ,將其沿折起使得重合,連結(jié),如圖2.

(1)證明圖2中的四點共面,且平面平面;

(2)求圖2中的四邊形的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓,圓與圓關(guān)于直線對稱.

1)求圓的方程;

2)過直線上的點分別作斜率為4的兩條直線,,使得被圓截得的弦長與被圓截得的弦長相等.

i)求點的坐標;

ii)過點任作兩條互相垂直的直線分別與兩圓相交,判斷所得弦長是否恒相等,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) .

(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;

(2)當(dāng)時,求證:

(3)討論函數(shù)的極值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案