Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，

，是線(xiàn)段上的點(diǎn)，是線(xiàn)段上的點(diǎn)，且

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明平面；

   （Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使異面直線(xiàn)與所成的角為？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)使異面直線(xiàn)與所成的角為. 

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，分別是所在邊的中點(diǎn)，在矩形中，利用三角形相似證出，由已知得，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可證出結(jié)論.（2）異面直線(xiàn)與所成的角為，即，在直角三角形中，.設(shè)，再求出，，.由余弦定理求得.代入求出的值.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，則為的中點(diǎn).

又 ，

∴在與中，，

，，∴.

 又∵平面，平面，

∴.

∴平面          ………………………………………………………… （6分）

（Ⅱ）設(shè), 則.連結(jié)，則面.

∴.

∵，∴，.

在中，，

設(shè)異面直線(xiàn)與所成的角為，則，

∴,  ∴.

∴.

解得.

∴存在實(shí)數(shù)，使異面直線(xiàn)與所成的角為. ……………………………… （12分）

方法二：（坐標(biāo)法）

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，則為的中點(diǎn)，設(shè), 則，則

，，，,.

,，.

,.

 ∴平面.     ………………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）設(shè), 則，

∴，，,.

∵ ,

∴ , .

,.

依題意，有，

∵ ，∴  ∴.

∴存在實(shí)數(shù)使異面直線(xiàn)與所成的角為.   ……………………………… （12分）