Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n=2a_n+n，且b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n化簡(jiǎn)可知a_n+1=2a_n-1，變形可知a_n+1-1=2（a_n-1），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n-1}是以-2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）解：由S_n=2a_n+n得：S_n+1=2a_n+1+n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n+1，即a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），
∵S₁=2a₁+1，
∴a₁=-1，a₁-1=-2≠0，
∴數(shù)列{a_n-1}是以-2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-1=-2ⁿ，a_n=1-2ⁿ；
（2）由（1）知b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1-{2}^{n}-1}{（1-{2}^{n}）（1-{2}^{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
∴T_n=-[（$\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$）+（$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）]
=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查裂項(xiàng)相消法，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．