求棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球和外接球的體積.

解:如圖所示,設(shè)點(diǎn)O是內(nèi)切球的球心.由圖形的對(duì)稱性知點(diǎn)O也是外接球的球心,設(shè)內(nèi)切球半徑為r,外接球半徑為R.正四面體的表面積S表=.正四面體的體積VA—BCD=

.

∵S表·r=VA—BCD,

∴.

∴內(nèi)切球的體積V內(nèi)=.

在Rt△BEO中,BO2=BE2+EO2,即R2=+r2,得,

∴外接球的體積V外=.

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