Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=3ⁿ+3a_n-1（n≥2，n∈N^*），求通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式兩邊同時除以3ⁿ，可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}=\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，然后由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．

解答 解：由a_n=3ⁿ+3a_n-1，得${a}_{n}-3{a}_{n-1}={3}^{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}=1$（n≥2），
即數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}=\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{1}{3}+（n-1）×1=n-\frac{2}{3}$，
則${a}_{n}=（n-\frac{2}{3}）•{3}^{n}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．