Question

9．關(guān)于函數(shù)f（x）=1-$\frac{1}{2}$cosx-（$\frac{1}{2}$）^|x|，有下面四個(gè)結(jié)論：①f（x）是奇函數(shù)；②當(dāng)x＞2006時(shí)，f（x）＞$\frac{1}{2}$恒成立；③f（x）的最大值是$\frac{3}{2}$；④f（x）的最小值是$\frac{1}{2}$．其中正確結(jié)論的序號(hào)是④．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性，單調(diào)性和最值的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答 解：①函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
則f（-x）=1-$\frac{1}{2}$cos（-x）-（$\frac{1}{2}$）^|-x|=1-$\frac{1}{2}$cosx-（$\frac{1}{2}$）^|x|=f（x），
則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故①錯(cuò)誤，
②當(dāng)x=1000π=1000π時(shí)，滿足x＞2006，
此時(shí)f（1000π）=1-$\frac{1}{2}$cos1000π-（$\frac{1}{2}$）^|1000π|=$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{2}$）^|1000π|＜$\frac{1}{2}$，
此時(shí)f（x）＞$\frac{1}{2}$不成立，故②錯(cuò)誤，
③∵$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{2}$cosx≤$\frac{3}{2}$，-1≤-（$\frac{1}{2}$）^|x|＜0，
∴，-$\frac{1}{2}$＜1-$\frac{1}{2}$cosx-（$\frac{1}{2}$）^|x|＜$\frac{3}{2}$，取不到$\frac{3}{2}$，
故f（x）的最大值是$\frac{3}{2}$錯(cuò)誤，故③錯(cuò)誤，
④當(dāng)x=0時(shí)，$\frac{1}{2}$cosx，（$\frac{1}{2}$）^|x|，同時(shí)取得最大值，
此時(shí)f（x）取得最小值f（0）=1-$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{2}$）⁰=$\frac{1}{2}$，
即④f（x）的最小值是$\frac{1}{2}$．
故④正確，
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的奇偶性，最值，單調(diào)性的性質(zhì)，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．