Question

平面上有9個點，其中4個點在同一條直線上，此外任三點不共線．
（1）分別以其中兩點為起點和終點，最多可作出幾個向量？
（2）過每兩點連線，可得幾條直線？
（3）以每三點為頂點作三角形可作幾個？

Answer 1

考點：計數(shù)原理的應用

專題：排列組合

分析：（1）向量具有方向和大小的，分三類，一類兩點全在直線上，一類在一直線上4點任取一點，直線外再取一點，另一類在一直線上4點不取，直線外取兩點即可，根據(jù)分類計數(shù)原理可得．
（2）分三類，一類兩點全在直線上，一類在一直線上4點任取一點，直線外再取一點，另一類在一直線上4點不取，直線外取兩點即可根據(jù)分類計數(shù)原理可得．
（3）分三類，第一類，在同一條直線上4個點選一個，再另外的5個點選2個，第二類，在同一條直線上4個點選2個，再另外的5個點選1個，第二類，在另外的5個點選3個，根據(jù)分類計數(shù)原理可得

解答： 解：（1）第一類，起點和終點分別屬于同一直線的4個點中的2個點，有

A

2 4

=12種，
第二類，起點和終點分別屬于同一直線的4個點的一個點，另一個點在直線的5個點中的一個，2×4×5=40種，
第三類，起點和終點分別屬于直線的5個點中的兩個，

A

2 5

=20種，
根據(jù)分類計數(shù)原理得，12+40+20=72個向量
（2）解：第一類，在一直線上4點任取兩點構成同一直線，1條，
第二類，在一直線上4點任取一點，直線外再取一點可構成4×5=20條
第三類，在一直線上4點不取，直線外取兩點可構成

C

2 5

=10條，
根據(jù)分類計數(shù)原理得，故一共1+20+10=31條，
（3）分兩類，第一類，在同一條直線上4個點選一個，再另外的5個點選2個，有

C

1 4

•

C

2 5

=40個，
第二類，在同一條直線上4個點選2個，再另外的5個點選1個，有

C

2 4

•

C

1 5

=30個，
第二類，在另外的5個點選3個，有

C

3 5

=10個，
根據(jù)分類計數(shù)原理得，以每三點為頂點作三角形可作40+30+10=80個．

點評：本題主要考查了分類計數(shù)原理，如何分類時關鍵，屬于中檔題．