Question

平面上有9個點(diǎn)，其中4個點(diǎn)在同一條直線上，此外任三點(diǎn)不共線．
（1）分別以其中兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，最多可作出幾個向量？
（2）過每兩點(diǎn)連線，可得幾條直線？
（3）以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形可作幾個？

Answer 1

考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

專題：排列組合

分析：（1）向量具有方向和大小的，分三類，一類兩點(diǎn)全在直線上，一類在一直線上4點(diǎn)任取一點(diǎn)，直線外再取一點(diǎn)，另一類在一直線上4點(diǎn)不取，直線外取兩點(diǎn)即可，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．
（2）分三類，一類兩點(diǎn)全在直線上，一類在一直線上4點(diǎn)任取一點(diǎn)，直線外再取一點(diǎn)，另一類在一直線上4點(diǎn)不取，直線外取兩點(diǎn)即可根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．
（3）分三類，第一類，在同一條直線上4個點(diǎn)選一個，再另外的5個點(diǎn)選2個，第二類，在同一條直線上4個點(diǎn)選2個，再另外的5個點(diǎn)選1個，第二類，在另外的5個點(diǎn)選3個，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得

解答： 解：（1）第一類，起點(diǎn)和終點(diǎn)分別屬于同一直線的4個點(diǎn)中的2個點(diǎn)，有

A

2 4

=12種，
第二類，起點(diǎn)和終點(diǎn)分別屬于同一直線的4個點(diǎn)的一個點(diǎn)，另一個點(diǎn)在直線的5個點(diǎn)中的一個，2×4×5=40種，
第三類，起點(diǎn)和終點(diǎn)分別屬于直線的5個點(diǎn)中的兩個，

A

2 5

=20種，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，12+40+20=72個向量
（2）解：第一類，在一直線上4點(diǎn)任取兩點(diǎn)構(gòu)成同一直線，1條，
第二類，在一直線上4點(diǎn)任取一點(diǎn)，直線外再取一點(diǎn)可構(gòu)成4×5=20條
第三類，在一直線上4點(diǎn)不取，直線外取兩點(diǎn)可構(gòu)成

C

2 5

=10條，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，故一共1+20+10=31條，
（3）分兩類，第一類，在同一條直線上4個點(diǎn)選一個，再另外的5個點(diǎn)選2個，有

C

1 4

•

C

2 5

=40個，
第二類，在同一條直線上4個點(diǎn)選2個，再另外的5個點(diǎn)選1個，有

C

2 4

•

C

1 5

=30個，
第二類，在另外的5個點(diǎn)選3個，有

C

3 5

=10個，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形可作40+30+10=80個．

點(diǎn)評：本題主要考查了分類計(jì)數(shù)原理，如何分類時關(guān)鍵，屬于中檔題．