Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是AC，PB的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）EF∥平面PCD；
（Ⅱ）BD⊥平面PAC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）首先通過作輔助線利用中位線找到平行線，進(jìn)一步利用線線平行轉(zhuǎn)化成面面平行
（Ⅱ）通過線面垂直的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化成線線垂直，再利用線線垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)BD，則E是BD的中點(diǎn)．
又F是PB的中點(diǎn)，
所以EF∥PD．
因?yàn)镋F?平面PCD，PD?平面PCD
所以EF∥平面PCD
（Ⅱ）∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC．
又PA⊥平面ABC，BD?面ABC
∴PA⊥BD．又PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：線面平行的判定定理，線面垂直的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．