Question

16．數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}$，a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若${b_n}=\frac{1}{{{{log}_3}{a_{n+1}}•{{log}_3}{a_{n+2}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）知${b_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：（1）由已知${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}$①，
得${S_{n-1}}=\frac{3}{2}{a_{n-1}}-\frac{1}{2}$，（n≥2）②，
①-②得${a_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{3}{2}{a_{n-1}}$，即a_n=3a_n-1（n≥2），
又a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，即${a_n}={3^{n-1}}$．
（2）由（1）知${b_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，
∴${T_n}=\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．