Question

7．已知某種產(chǎn)品的數(shù)量x（件）與其成本y（元）之間的函數(shù)關(guān)系可以近似用y=ax²+bx+c表示，其中a、b、c為待定常數(shù)，現(xiàn)有實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

產(chǎn)品數(shù)量x（件）	6	10	20
成本合計(jì)y（元）	1040	1600	3700

（1）試確定成本函數(shù)y=f（x）；
（2）已知這種產(chǎn)品每件的銷售價(jià)為200元，求利潤(rùn)p關(guān)于x的函數(shù)p=p（x）；
（3）根據(jù)利潤(rùn)p關(guān)于x的函數(shù)p=p（x）確定盈虧轉(zhuǎn)折時(shí)的產(chǎn)品數(shù)量（即產(chǎn)品數(shù)量等于多少時(shí)，能扭虧為盈或由盈轉(zhuǎn)虧）．

Answer 1

分析 （1）把表格中的數(shù)據(jù)對(duì)代入二次函數(shù)解析式，求解a，b，c的值，則成本函數(shù)可求；
（2）由收入減去成本得到利潤(rùn)函數(shù)p=p（x）；
（3）直接求解利潤(rùn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程，得到函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由此可以得到盈利和虧損時(shí)的產(chǎn)品數(shù)量的范圍．

解答 解：（1）將表格中相關(guān)數(shù)據(jù)代入y=ax²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=1040}\\{100a+10b+c=1600}\\{400a+20b+c=3700}\end{array}\right.$，
解得a=5，b=60，c=500．
∴y=f（x）=5x²+60x+500，（x≥0）；
（2）∵x（百件）在每件銷售價(jià)為200元時(shí)的收入為200（百元）=20（千元），
∴p=p（x）
=20x-f（x）
=20x-（5x²+60x+500）
=-5x²-40x+500，（x≥0）；
（3）令p（x）=0，即-5x²-40x+500=0，
解得x=-4-2$\sqrt{58}$（舍）或x=-4+2$\sqrt{58}$≈11.23，
故0＜x＜11.23時(shí)，p（x）＞0；x＞11.23時(shí)，p（x）＜0，
∴當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為1123件時(shí)由盈變虧．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法，解答此題的關(guān)鍵是注意單位的統(tǒng)一，是中檔題，也是易錯(cuò)題．