Question

19．已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²+kx+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，寫(xiě)出k的取值范圍（不需證明）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，等價(jià)為當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）若x＜0，則-x＞0，
則f（-x）=x²-kx+1，
∵f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=x²-kx+1=-f（x），
即f（x）=-x²+kx-1，x＜0，
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+kx+1，}&{x＞0}\\{0，}&{x=0}\\{-{x}^{2}+kx-1，}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）若函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，
則只需要當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，即可，
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-$\frac{k}{2}$，
則當(dāng)-$\frac{k}{2}$≤0，即k≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
即k的取值范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．