Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，${a_{n+2}}=（1+{sin^2}\frac{nπ}{2}）{a_n}+n•cos\frac{nπ}{2}$，則該數(shù)列的前20項(xiàng)和為1033．

Answer 1

分析 求出數(shù)列的關(guān)系式，利用奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和，求解即可．

解答 解：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，${a_{n+2}}=（1+{sin^2}\frac{nπ}{2}）{a_n}+n•cos\frac{nπ}{2}$，可得a_n+2=2a_n，
故奇數(shù)項(xiàng)是以a₁=1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
所以前20項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)和為${S_奇}=\frac{{1-{2^{10}}}}{1-2}={2^{10}}-1=1023$；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，${a_{n+2}}=（1+{sin^2}\frac{nπ}{2}）{a_n}+n•cos\frac{nπ}{2}$，可得${a_{n+2}}={a_n}+{（-1）^{\frac{n}{2}}}•n$，
前20項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)和為S_偶=10，
所以S₂₀=1023+10=1033．
故答案為：1033．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．