Question

15．已知f（x）=x²+a²+|x+a|
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值大于3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論去絕對值號函數(shù)f（x）=，從而分別求最小值，再利用分段函數(shù)求最小值；
（2）討論去絕對值號函數(shù)f（x），再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及分段函數(shù)的單調(diào)性從而求函數(shù)的最小值，再令最小值大于3，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x²+1+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x≥-1}\\{{x}^{2}-x，x＜-1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥-1時，f（x）=x²+x+2=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
當(dāng)x＜-1時，f（x）=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$＜f（-1）=1+1=2，
∴當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）的最小值為$\frac{7}{4}$，
（2）當(dāng)x≥-a時，f（x）=x²+x+a²+a=（x+$\frac{1}{2}$）²+a²+a-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)x＜-a時，f（x）=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)-a≤-$\frac{1}{2}$時，即a≥$\frac{1}{2}$時，f（x）_min=a²+a-$\frac{1}{4}$＞3，解得a＞$\frac{-1+\sqrt{14}}{2}$，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜-a＜$\frac{1}{2}$時，即-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）_min=f（-a）=2a²＞3，此時無解，
當(dāng)-a≥$\frac{1}{2}$時，即a≤-$\frac{1}{2}$時，f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$＜3，此時不存在，
綜上所述a的取值范圍（$\frac{-1+\sqrt{14}}{2}$，+∞）

點(diǎn)評 本題考查了絕對值函數(shù)的化簡與段函數(shù)的最值的求法，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于難題．