Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x³a^x，其中a＞0且a≠1，若φ（x）=$\frac{f'（x）}{a^x}$是區(qū)間（0，2）上的增函數(shù)．
（Ⅰ）求a的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)a取得最小值時(shí)，證明：對(duì)于任意的0＜x₁＜x₂，當(dāng)x₁+x₂=6時(shí)，有f（x₁）＜f（x₂）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=3x²a^x+x³a^xlna=a^x（3x²+x³lna），故φ（x）=3x²+x³lna，求導(dǎo)φ′（x）=6x+（3lna）x²，從而可得當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，φ′（x）≥0恒成立，從而化為求函數(shù)的最值問(wèn)題即可；
（Ⅱ）當(dāng)$a=\frac{1}{e}$時(shí)，$f（x）=\frac{x^3}{e^x}$，從而化簡(jiǎn)可得${e^{{x_2}-{x_1}}}＜\frac{x_2^3}{x_1^3}$，即3lnx₁-3ln（6-x₁）+6-2x₁＜0；令g（x）=3lnx-3ln（6-x）+6-2x，x∈（0，3），從而求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²a^x+x³a^xlna=a^x（3x²+x³lna），
∴φ（x）=$\frac{f'（x）}{a^x}$=3x²+x³lna，
∴φ′（x）=6x+（3lna）x²，
∵φ（x）=$\frac{f'（x）}{a^x}$是區(qū)間（0，2）上的增函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，φ′（x）=6x+（3lna）x²≥0恒成立，
即$lna≥-\frac{2}{x}$恒成立；
又x∈（0，2）時(shí)，$-\frac{2}{x}∈（-∞，-1）$，
故lna≥-1，
故a≥$\frac{1}{e}$；
即a的最小值為$\frac{1}{e}$．
（Ⅱ）證明：當(dāng)$a=\frac{1}{e}$時(shí)，$f（x）=\frac{x^3}{e^x}$，
∵0＜x₁＜x₂且x₁+x₂=6，
∴0＜x₁＜3，x₂=6-x₁，
要證f（x₁）＜f（x₂），
只需證$\frac{{{x_1}^3}}{{{e^{x_1}}}}＜\frac{{{x_2}^3}}{{{e^{x_2}}}}$（0＜x₁＜3），
只需證${e^{{x_2}-{x_1}}}＜\frac{x_2^3}{x_1^3}$，
只需證x₂-x₁＜3lnx₂-3lnx₁，
只需證3lnx₁-3lnx₂+x₂-x₁＜0，
只需證3lnx₁-3ln（6-x₁）+6-2x₁＜0（*）；
設(shè)g（x）=3lnx-3ln（6-x）+6-2x，x∈（0，3），
則$g'（x）=\frac{3}{x}+\frac{3}{6-x}-2=\frac{{2{{（x-3）}^2}}}{x（6-x）}$，
當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，g′（x）＞0，即g（x）在（0，3）上單調(diào)遞增，
于是對(duì)于任意的0＜x₁＜3，g（x₁）＜g（3）=0，即（*）式成立，
故原命題成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與不等式的關(guān)系應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．