Question

19．如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥DC，點E是AC的中點，點F是線段AD上的動點，AB=BC=2．
（1）若DC∥平面BEF，求$\frac{AF}{AD}$的值；
（2）若EF⊥AD，當平面BEF和平面BCD所成的二面角的余弦值是$\frac{2\sqrt{17}}{17}$時，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理進行求解即可．
（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量利用向量法進行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）若DC∥平面BEF，
∵平面BEF∩平面ACD=EF，
∴CD∥EF，
則$\frac{AF}{AD}$=$\frac{AE}{AC}$，
∵E是AC的中點，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$；
（2）∵BC⊥DC，AB⊥平面BCD，
∴過B作CD的平行線，
建立以B為坐標原點，Bx，BC，BA分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
設(shè)CD=a，
∵AB=BC=2，
∴B（0，0，0），A（0，0，2），C（0，2，0），D（a，2，0），
∵E是AC的中點，∴E（0，1，1），
∵AB=BC，E是AC的中點，
∴BE⊥AC，又可證得CD⊥AC
∴CD⊥平面ABC，
∴CD⊥BE，結(jié)合BE⊥AC，可得BE⊥面ADC，可得BE⊥AD
∵EF⊥AD，
∴AD⊥面BEF，
∴$\overrightarrow{AD}$是平面BEF的法向量，則$\overrightarrow{AD}$=（a，2，-2），
平面BCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-2}{1×\sqrt{{a}^{2}+4+4}}$=$\frac{-2}{\sqrt{{a}^{2}+8}}$，
∵平面BEF和平面BCD所成的二面角的余弦值是$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{-2}{\sqrt{{a}^{2}+8}}$|=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，
得a=3，即CD的長為3．

點評 本小題主要考查線面平行的應(yīng)用和二面角的求解，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，綜合性較強，運算量較大．