Question

15．橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)x-y+3$\sqrt{5}$=0的距離的最小值是$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 設(shè)與直線(xiàn)x-y+3$\sqrt{5}$=0平行的直線(xiàn)方程為：x-y+c=0，與橢圓方程聯(lián)立，消元，令△=0，可得c的值，求出兩條平行線(xiàn)間的距離，即可求得橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1一點(diǎn)P到直線(xiàn)x-y+3$\sqrt{5}$=0的距離最小值．

解答 解：設(shè)與直線(xiàn)x-y+3$\sqrt{5}$=0平行的直線(xiàn)方程為：x-y+c=0，與橢圓方程聯(lián)立，消元可得5x²+8cx+4c²-4=0
令△=64c²-20（4c²-4）=0，可得c=±$\sqrt{5}$，
∴兩條平行線(xiàn)間的距離為$\frac{|±\sqrt{5}-3\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{10}$或$\sqrt{10}$，
∴橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)x-y+3$\sqrt{5}$=0的距離的最小值是：$\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出與直線(xiàn)x-y+3$\sqrt{5}$=0平行，且與橢圓相切的直線(xiàn)方程．