15．橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1上的點(diǎn)到直線x-y+3$\sqrt{5}$=0的距離的最小值是$\sqrt{10}$．

分析 設(shè)與直線x-y+3$\sqrt{5}$=0平行的直線方程為：x-y+c=0，與橢圓方程聯(lián)立，消元，令△=0，可得c的值，求出兩條平行線間的距離，即可求得橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1一點(diǎn)P到直線x-y+3$\sqrt{5}$=0的距離最小值．

解答 解：設(shè)與直線x-y+3$\sqrt{5}$=0平行的直線方程為：x-y+c=0，與橢圓方程聯(lián)立，消元可得5x2+8cx+4c2-4=0
令△=64c2-20（4c2-4）=0，可得c=±$\sqrt{5}$，
∴兩條平行線間的距離為$\frac{|±\sqrt{5}-3\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{10}$或$\sqrt{10}$，
∴橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1上的點(diǎn)到直線x-y+3$\sqrt{5}$=0的距離的最小值是：$\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出與直線x-y+3$\sqrt{5}$=0平行，且與橢圓相切的直線方程．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

17．函數(shù)y=-2cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）在區(qū)間（$\frac{28}{5}$π，a]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值為（　　）
A．$\frac{17π}{3}$B．6πC．$\frac{20π}{3}$D．$\frac{22π}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

6．P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上異于左右頂點(diǎn)A1，A2的任意一點(diǎn)，則直線PA1與PA2的斜率之積為定值-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，將這個(gè)結(jié)論類比到雙曲線，得出的結(jié)論為：P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上異于左右頂點(diǎn)A1，A2的任意一點(diǎn)，則（　�。�
A．直線PA1與PA2的斜率之和為定值$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$
B．直線PA1與PA2的斜率之積為定值$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$
C．直線PA1與PA2的斜率之和為定值$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$
D．直線PA1與PA2的斜率之積為定值$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．已知過點(diǎn)A（0，2）的直線l與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若直線l的斜率為k，求k的取值范圍；
（Ⅱ）若以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)E（1，0），求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（2，0）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且S△AMN=$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，求直線l的一般方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

20．若函數(shù)f（x）=x3+ax2-x在x∈（1，2）上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{11}{4}$，-1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．如圖，F(xiàn)是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，|OF|=$\sqrt{5}$，過F作OF的垂線交橢圓于P0，Q0兩點(diǎn)，△OP0Q0的面積為$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點(diǎn)M（-$\sqrt{5}$，0）的直線l與上、下半橢圓分別交于點(diǎn)P，Q，且|PM|=2|MQ|，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x3ax，其中a＞0且a≠1，若φ（x）=$\frac{f'（x）}{a^x}$是區(qū)間（0，2）上的增函數(shù)．
（Ⅰ）求a的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)a取得最小值時(shí)，證明：對于任意的0＜x1＜x2，當(dāng)x1+x2=6時(shí)，有f（x1）＜f（x2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．求橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的長軸和短軸的長、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的坐標(biāo)．

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