Question

13．已知tan（α+$\frac{π}{4}$）=2cos2α，求α的值．

Answer 1

分析 利用兩角和的正切函數(shù)以及二倍角的余弦函數(shù)化簡方程，然后求解角的值．

解答 解：tan（α+$\frac{π}{4}$）=2cos2α，
可得$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=2（cos²α-sin²α），
可得$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$=2（cos²α-sin²α），
（cosα+sinα）（1-2（cosα-sinα）²）=0．
可得cosα+sinα=0或1-2（cosα-sinα）²=0；
解得：tanα=-1或cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由tanα=-1，可得α=k$π-\frac{π}{4}$，k∈Z，
由cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}cos（α+\frac{π}{4}）=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$cos（α+\frac{π}{4}）=±1$，解得α=kπ$-\frac{π}{4}$，k∈Z．
綜上α的值為α=kπ$-\frac{π}{4}$，k∈Z．

點評 本題考查兩角和的正切函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，考查化簡求值．