Question

13．已知函數(shù)f（x）=（x-a）e^-x，其中a為常數(shù)．
（1）判斷f（x）在x=0處的切線是否經(jīng)過一個定點，并說明理由；
（2）討論f（x）在區(qū)間[-2，3]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，計算f′（0），f（0）的值，求出切線方程，從而求出直線過定點（1，1）；
（2）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）由題意得f′（x）=$\frac{1+a-x}{{e}^{x}}$，f′（0）=1+a，f（0）=-a，
則在x=0處的切線方程是：y+a=（1+a）x，
即a（x-1）+x-y=0，故定點是（1，1）；
（2）由f′（x）=$\frac{1+a-x}{{e}^{x}}$，得f（x）在（-∞，1+a）上遞增，在（1+a，+∞）遞減，
因此，當1+a≥3即a≥2時，f（x）在[-2，3]遞增，
當1+a≤-2即a≤-3時，f（x）在[-2，3]遞減，
當-2＜1+a＜3即-3＜a＜2時，f（x）在[-2，1+a）遞增，在（1+a，3]遞減．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性以及分類討論思想，是一道中檔題．