Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】（1）遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2），見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的取值的正負(fù)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求得，令，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上有唯一的極值點(diǎn)，得出在上有唯一的解，根據(jù)求得的范圍，再由由，得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解．

（1）由題意，函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù).

則，

令，即且，可得，

令，即，可得.

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）由函數(shù)，則，

記，

因?yàn)?/span>在區(qū)間上有唯一的極值點(diǎn)，又，

根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析可知，只需即可，即，解得，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，

又由，可得，

所以，

又由函數(shù)，可得，

可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，

所以.