Question

13．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）是二次函數(shù)，如圖是f′（x）的大致圖象，若f（x）的極大值與極小值的和等于$\frac{2}{3}$，則f（0）的值為（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的正負(fù)，由此利用函數(shù)的單調(diào)性即可函數(shù)在某點(diǎn)取得極值，結(jié)合圖象的對(duì)稱性從而作出正確結(jié)果．

解答 解：如圖示：，

∵其導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值應(yīng)在（-∞，-2）上為正數(shù)，在（-2，2）上為負(fù)數(shù)，在（2，+∞）上為正數(shù)，
由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，函數(shù)在（-∞，-2）上為增函數(shù)，在（-2，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，
∴函數(shù)在x=-2取得極大值，在x=2取得極小值，且這兩個(gè)極值點(diǎn)關(guān)于（0，f（0））對(duì)稱，
由f（x）的極大值與極小值之和為$\frac{2}{3}$，得
f（-2）+f（2）=2f（0），
∴$\frac{2}{3}$=2f（0），
則f（0）的值為$\frac{1}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象間的關(guān)系，屬于中檔題．