Question

我們把形如y=

b

|x|-a

（a＞0，b＞0）的函數(shù)稱為“莫言函數(shù)”，并把其與y軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)稱為“莫言點(diǎn)”，以“莫言點(diǎn)”為圓心凡是與“莫言函數(shù)”有公共點(diǎn)的圓，皆稱之為“莫言圓”，則當(dāng)a=1，b=1時，
（1）莫言函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：

 

（2）所有的“莫言圓”中，面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知中關(guān)于“莫言函數(shù)”，“莫言點(diǎn)”，“莫言圓”的定義，利用a=1，b=1，我們易求出“莫言點(diǎn)”坐標(biāo)，畫出“莫言函數(shù)”的圖象，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）設(shè)出“莫言圓”的方程，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求出圓心到“莫言函數(shù)”圖象上點(diǎn)的最小距離，即可得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)a=1且b=1時，函數(shù)“莫言函數(shù)”為y=

1

|x|-1

，
其圖象由函數(shù)y=

1

x

的圖象向右平移一個單位，再做橫向?qū)φ圩儞Q得到，
故圖象如下圖所示：

由圖可得，莫言函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-1），（-1，0]；
（2）由（1）中函數(shù)圖象與y軸交于（0，-1）點(diǎn)，
則“莫言點(diǎn)”坐標(biāo)為（0，1）．
令“莫言圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-1）²=r²，
令“莫言圓”與函數(shù)y=

1

|x|-1

圖象的左右兩支相切，
則可得切點(diǎn)坐標(biāo)為（

1+ 5

2

，

1+ 5

2

）和（-

1+ 5

2

，

1+ 5

2

），
此時“莫言圓”的半徑r=

( 1+ 5 2 )2+(1- 1+ 5 2 )2

=

3

；
令“莫言圓”與函數(shù)y=

1

|x|-1

圖象的下支相切，此時切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1）．
此時“莫言圓”的半徑r=2；
故所有的“莫言圓”中，面積的最小值為3π．
故答案為：（-∞，-1），（-1，0]，3π

點(diǎn)評：本題給出“莫言函數(shù)”、“莫言點(diǎn)”、“莫言圓”的定義，求圓的最小面積．著重考查了函數(shù)的圖象、圓的方程、兩點(diǎn)的距離公式與圓面積求法等知識，屬于中檔題．