Question

已知函數(shù)f（x）=ax-

1

x

-（a+1）lnx（a＞0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線y=

3

4

x平行，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值，且m≥-a²+4a，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可知曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率為f′（2），又切線與直線y=

3

4

x平行，則f′(2)=

3

4

，對y=f（x）求導(dǎo)得f′(x)=a+

1

x2

-

a+1

x

，令f′(2)=

3

4

⇒a=2；
（Ⅱ）令f′(x)=a+

1

x2

-

a+1

x

=0⇒x1=

1

a

，x2=1，對x₁和x₂比較大小進行討論，并與函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值比較確定a＞1，又m≥-a²+4a，則m≥(-a2+4a)max=

1

4

（其中a＞1）

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=a+

1

x2

-

a+1

x

，由f′(2)=

3

4

⇒a=2
（Ⅱ）由f′(x)=a+

1

x2

-

a+1

x

=0⇒x1=

1

a

，x2=1
①當(dāng)

1

a

＜1，即a＞1時，函數(shù)f（x）在(0，

1

a

)上單調(diào)遞增，在(

1

a

，1)上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增
即函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值
②當(dāng)

1

a

=1，即a=1時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極小值，所以a≠1
③當(dāng)

1

a

＞1，即0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在(1，

1

a

)上單調(diào)遞減，在(

1

a

，+∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f（x）在x=

1

a

處取得極小值，與題意不符合
即a＞1時，函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值，又因為m≥-a²+4a，所以m≥4．

點評：本題考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，考查分離參數(shù)法求恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．