【題目】如圖,在四棱錐中,是等邊三角形,,,.

(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)若平面 平面,,求二面角的余弦值

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】分析：第一問(wèn)要證明的是線線垂直，在做題的過(guò)程中，需要用到平面四邊形中平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理得到線線垂直，之后應(yīng)用線面垂直的判定定理得到線面垂直，之后應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)，得到線線垂直；第二問(wèn)利用題中的條件，得到相應(yīng)的垂直關(guān)系，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求得二面角的余弦值.

詳解：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接

為等邊三角形

且

又

四邊形為矩形

, 平面

又 平面，

(Ⅱ)由（Ⅰ）知

平面平面，平面平面，平面

平面,

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)則

, ,

又，得,

,,

,

設(shè)平面法向量

由,得，取，得

又知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)

二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校為了探索一種新的教學(xué)模式，進(jìn)行了一項(xiàng)課題實(shí)驗(yàn)，甲班為實(shí)驗(yàn)班，乙班為對(duì)比班，甲乙兩班的人數(shù)均為50人，一年后對(duì)兩班進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試成績(jī)的分組區(qū)間為80,90、90,100、100,110、110,120、120,130，由此得到兩個(gè)班測(cè)試成績(jī)的頻率分布直方圖：

（1）完成下面2×2列聯(lián)表，你能有97.5的把握認(rèn)為“這兩個(gè)班在這次測(cè)試中成績(jī)的差異與實(shí)施課題實(shí)驗(yàn)有關(guān)”嗎？并說(shuō)明理由；

成績(jī)小于100分

成績(jī)不小于100分

合計(jì)

甲班

50

乙班

50

合計(jì)

100

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可估計(jì)在這次測(cè)試中，甲班的平均分是105.8，請(qǐng)你估計(jì)乙班的平均分，并計(jì)算兩班平均分相差幾分？

附：

，其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5. 024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)若函數(shù)，利用上述性質(zhì)，

Ⅰ當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間只需判定單調(diào)區(qū)間，不需要證明；

Ⅱ設(shè)在區(qū)間上最大值為，求的解析式；

Ⅲ若方程恰有四解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為加快新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，推進(jìn)節(jié)能減排，國(guó)家對(duì)消費(fèi)者購(gòu)買新能源汽車給予補(bǔ)貼，其中對(duì)純電動(dòng)乘用車補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：

新能源汽車補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)

車輛類型

續(xù)駛里程R（公里）

80≤R＜150

150≤R＜250

R≥250

純電動(dòng)乘用車

3.5萬(wàn)元/輛

5萬(wàn)元/輛

6萬(wàn)元/輛

某校研究性學(xué)習(xí)小組，從汽車市場(chǎng)上隨機(jī)選取了M輛純電動(dòng)乘用車，根據(jù)其續(xù)駛里程R（單次充電后能行駛的最大里程）作出了頻率與頻數(shù)的統(tǒng)計(jì)表：

分組

頻數(shù)

頻率

80≤R＜150

2

0.2

150≤R＜250

5

x

R≥250

y

z

合計(jì)

M

1

（Ⅰ）求x，y，z，M的值；
（Ⅱ）若從這M輛純電動(dòng)乘用車中任選2輛，求選到的2輛車?yán)m(xù)駛里程都不低于150公里的概率；
（Ⅲ）若以頻率作為概率，設(shè)X為購(gòu)買一輛純電動(dòng)乘用車獲得的補(bǔ)貼，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2），且不等式f（x1）≥mx2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖是在豎直平面內(nèi)的一個(gè)“通道游戲”,圖中豎直線段和斜線段都表示通道,并且在交點(diǎn)處相通,假設(shè)一個(gè)小彈子在交點(diǎn)處向左或向右是等可能的.若豎直線段有一條的為第一層,有兩條的為第二層,……,依此類推,現(xiàn)有一顆小彈子從第一層的通道里向下運(yùn)動(dòng).則該小彈子落入第四層從左向右數(shù)第3個(gè)豎直通道的概率是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】四個(gè)小動(dòng)物換座位，開(kāi)始是鼠、猴、兔、貓分別坐在 1，2，3，4 號(hào)位子上（如圖）， 第一次前后排動(dòng)物互換座位，第二次左右列動(dòng)物互換座位,.....,這樣交替進(jìn)行下去，那么第 2013 次互換座位后，小兔的座位對(duì)應(yīng)的是( )

A. 編號(hào) 1 B. 編號(hào) 2 C. 編號(hào) 3 D. 編號(hào) 4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ），圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)是P（﹣ ，﹣1），對(duì)于f（x1）=1，f（x2）=3，|x1﹣x2|的最小值為 ． （Ⅰ）若f（α+ ）= ，且α為第三象限的角，求sinα+cosα的值；
（Ⅱ）討論y=f（x）+m在區(qū)間[0， ]上零點(diǎn)的情況．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】據(jù)調(diào)查，某地區(qū)有300萬(wàn)從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民，人均年收入6000元，為了增加農(nóng)民的收入，當(dāng)?shù)卣e極引進(jìn)資本，建立各種加工企業(yè)，對(duì)當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行深加工，同時(shí)吸收當(dāng)?shù)夭糠洲r(nóng)民進(jìn)入加工企業(yè)工作，據(jù)估計(jì)，如果有萬(wàn)人進(jìn)企業(yè)工作，那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均年收入有望提高，而進(jìn)入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均年收入為元．

（1）在建立加工企業(yè)后，多少農(nóng)民進(jìn)入企業(yè)工作，能夠使剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)農(nóng)民的總收入最大，并求出最大值；

（2）為了保證傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的順利進(jìn)行，限制農(nóng)民加入加工企業(yè)的人數(shù)不能超過(guò)總?cè)藬?shù)的，當(dāng)?shù)卣绾我龑?dǎo)農(nóng)民，即取何值時(shí)，能使300萬(wàn)農(nóng)民的年總收入最大．

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