4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，A，B分別為橢圓上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，若AB+BF=2a，則橢圓離心率是$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

分析 求得A，B，F(xiàn)的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，可得$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+（a-c）=2a，再由a，b，c及離心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A（0，a），B（b，0），F(xiàn)（c，0），
由AB+BF=2a，可得$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+（a-c）=2a，
即有a2+b2=（a+c）2，由b2=a2-c2，
代入化簡(jiǎn)可得，2c2+2ac-a2=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得2e2+2e-1=0，
解得e=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$（負(fù)的舍去）．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的基本量的關(guān)系和離心率公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

6．在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（xi，yi）（i=1，2，…，6）都在曲線y=bx2-$\frac{1}{3}$附近波動(dòng)．經(jīng)計(jì)算$\sum_{i=1}^{6}$xi=11，$\sum_{i=1}^{6}$yi=13，$\sum_{i=1}^{6}$xi2=21，則實(shí)數(shù)b的值為$\frac{5}{7}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)（2，$\sqrt{2}$）．又M，N，P，Q是橢圓C上的四個(gè)不同的點(diǎn)，兩條都不和x軸垂直的直線MN和PQ分別過(guò)點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且這兩條直線互相垂直，則$\frac{1}{{|{MN}|}}+\frac{1}{{|{PQ}|}}$為定值（　�。�
A．$\frac{{3\sqrt{2}}}{8}$B．$\frac{{5\sqrt{2}}}{8}$C．$\frac{{7\sqrt{2}}}{8}$D．$\frac{{\sqrt{2}}}{8}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

12．已知橢圓C與橢圓E：$\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{5}=1$共焦點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)$A（1，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在橢圓C上任取兩點(diǎn)P、Q，設(shè)PQ所在直線與x軸交于點(diǎn)M（m，0），點(diǎn)P1為點(diǎn)P關(guān)于軸x的對(duì)稱點(diǎn)，QP1所在直線與x軸交于點(diǎn)N（n，0），探求mn是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b≥1）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且橢圓C1上一點(diǎn)M到點(diǎn)Q（0，3）的距離的最大值為4．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（0，$\frac{1}{16}$），N為拋物線C2：y=x2上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線C2的切線交橢圓C1于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且短軸長(zhǎng)為6．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在斜率為1的直線l，使得l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直角的圓恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

16．若橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，短軸長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�
A．$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$B．$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$C．$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$D．$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

13．在如圖所示的幾何體EFABC中，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF⊥平面ABC，D為BC的中點(diǎn)，DE∥AF且BC=AF=2DE=2．
（1）求證：AB∥平面EFC；
（2）若∠BAC=120°，求二面角B-EF-C的平面角的余弦值．

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14．$\frac{2}{1+i}-\frac{1+i}{2}$=（　�。�
A．$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$B．$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$C．$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$D．$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$

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