Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且短軸長為6．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在斜率為1的直線l，使得l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直角的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓離心率及短軸長列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）假設(shè)存在符合題意的直線l與橢圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，其方程為y=x+m，與橢圓聯(lián)立，得3x²+4mx+2m²-18=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直徑性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出符合題意的直線l存在，且方程為y=x+2$\sqrt{3}$或y=x-2$\sqrt{3}$．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且短軸長為6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=6}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3\sqrt{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（Ⅱ）假設(shè)存在符合題意的直線l與橢圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，其方程為y=x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，消去y，化簡得3x²+4mx+2m²-18=0，
∵直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，∴△=16m²-12（2m²-18）＞0，
化簡，得m²＜27，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2（{m}^{2}-9）}{3}$，
∵以線段AB為直徑的圓恰到恰好經(jīng)過原點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=${x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$，
${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=2{x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=$\frac{4（{m}^{2}-9）}{3}-\frac{4{m}^{2}}{3}+{m}^{2}=0$，
解得m²=12，滿足m²＜27，
∴m=2$\sqrt{3}$或m=-2$\sqrt{3}$，
故符合題意的直線l存在，且方程為y=x+2$\sqrt{3}$或y=x-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、橢圓及圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．