Question

16．若橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，短軸長為2$\sqrt{3}$，焦點在x軸上，則橢圓的標準方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$
• B． $\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$
• C． $\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$

Answer 1

分析 設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得b，再由離心率公式和a，b，c的關系，可得a，進而得到橢圓方程．

解答 解：設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得2b=2$\sqrt{3}$，即b=$\sqrt{3}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-c²=b²=3，
解得a=2，c=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和a，b，c的關系，考查運算能力，屬于基礎題．