Question

已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）有極大值32，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對任意x∈[-2，0]，不等式f（x）＜

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恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a＞0，a＜0的單調(diào)區(qū)間和極大值，從而解得a的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a＞0，a＜0時，區(qū)間[-2，0]的單調(diào)性，求出最大值，由條件只要令它小于

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，即可得到a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ax（x-2）²（x∈R）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a（x-2）（3x-2），
當(dāng)a＞0時，f′（x）＞0得x＞2或x＜

2

3

，
f′（x）＜0得

2

3

＜x＜2，則x=

2

3

取極大值，
即有

32a

27

=32，解得a=27，成立；
當(dāng)a＜0時，f′（x）＜0得x＞2或x＜

2

3

，f′（x）＞0得

2

3

＜x＜2，
則x=2取極大值，
即有0=32，顯然不成立．
故a=27；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=ax（x-2）²（x∈R）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a（x-2）（3x-2），
當(dāng)a＞0時，[-2，0]為增區(qū)間，即有f（0）最大且為0；
當(dāng)a＜0時，[-2，0]為減區(qū)間，即有f（-2）最大且為-32a；
對任意x∈[-2，0]，不等式f（x）＜

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恒成立等價為
對任意x∈[-2，0]，不等式f（x）_max＜

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9

恒成立，
當(dāng)a＞0時，有0＜

16

9

成立；當(dāng)a＜0時，-32a＜

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9

，即a＞-

1

18

．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（-

1

18

，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用：求最值，考查分類討論的思想方法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．