Question

已知矩陣M=

2 a 2 b

的兩個特征值分別為λ₁=-1和λ₂=4．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求直線x-2y-3=0在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的象的方程．

Answer 1

考點：特征值、特征向量的應(yīng)用

專題：計算題,矩陣和變換

分析：（1）先寫出矩陣A的特征多項式，再結(jié)合由于λ₁=-1和λ₂=4是此函數(shù)的零點即可求得a，b．
（2）先直線x-2y-3=0上任一點（x，y）在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像（x′，y′），根據(jù)矩陣變換得出它們之間的關(guān)系，從而求直線x-2y-3=0在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程．

解答： 解：（1）矩陣A的特征多項式為：f（λ）=

.

λ-2 -a -2 λ-b

.

，
即f（λ）=λ²-（b+2）λ+2b-2a，
由于λ₁=-1和λ₂=4是此函數(shù)的零點，
∴

3=b+2 -4=2b-2a

⇒

a=3 b=1

（2）由上知，M=

2 3 2 1

，
設(shè)直線x-2y-3=0上任一點（x，y）
在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像（x′，y′），
由

x′ y′

=

2 3 2 1

x y

得到：

x= -x′+3y′ 4 y= x′-y′ 2

，
代入x-2y-3=0化簡得到5x′-7y′+12=0．
直線x-2y-3=0在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程5x-7y+12=0．

點評：本題考查矩陣的特征多項式和特征值之間的關(guān)系，考查矩陣的變換的運用，屬于基礎(chǔ)題．