Question

在直角坐標系xoy中，曲線y=x²-6x+5與坐標軸的交點都在圓C上．
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）求過點（2，4）的直線被該圓截得的弦長最小時的直線方程以及最小弦長．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）首先求出曲線y=x²-6x+5與坐標軸的交點坐標，進一步利用三點的坐標用待定系數(shù)法，求出圓的一般式方程．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論x²+y²-6x-6y+5=0轉(zhuǎn)化為標準式：（x-3）²+（y-3）²=13，進一步利用點（2，4）與圓心（3，3）的距離為

2

＜

13

，所以最短弦的直線的斜率k與點（2，4）與圓心（3，3）所構(gòu)成的直線斜率乘積為-1，進一步求出k．從而求出直線方程為：x-y+2=0．進一步利用圓心（3，3）到直線的距離為：d=

|3-3+2|

2

=

2

，利用l²+d²=r²解得半弦長，從而求出弦長．

解答： 解：（1）曲線y=x²-6x+5與坐標軸x軸的交點，
令x²-6x+5=0，解得：A（1，0），B（5，0），
與y軸的交點C（0，5），
設(shè)圓的一般式為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
把A（1，0），B（5，0），C（0，5）代入圓的方程：

1+D+F=0 25+5D+F=0 25+5E+F=0

，
解得D=-6，E=-6，F(xiàn)=5，
圓的方程為：x²+y²-6x-6y+5=0；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論x²+y²-6x-6y+5=0轉(zhuǎn)化為標準式：（x-3）²+（y-3）²=13，
點（2，4）與圓心（3，3）的距離為

2

＜

13

，
所以最短弦的直線的斜率k與點（2，4）與圓心（3，3）所構(gòu)成的直線斜率乘積為-1．
所以k=1，
進一步求出直線方程為：x-y+2=0．
所以圓心（3，3）到直線的距離為：d=

|3-3+2|

2

=

2

，
設(shè)半弦長為l，則：l²+d²=r²，
解得：l=

11

，則弦長為2l=2

11

．

點評：本題考查的知識要點：用待定系數(shù)法求圓的一般式，點與圓的位置關(guān)系的判定，最短弦與弦心距之間的關(guān)系及相關(guān)的運算問題．