Question

已知圓C：x²+y²=r²和點P（a，b）若點P在圓C內(nèi)，過P作直線l交圓C于A、B兩點，分別過A、B兩點作圓C的切線，當(dāng)兩條切線相交于點Q時，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,直線與圓

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），因為AQ與圓C相切，所以AQ⊥CA，所以（x₁-x₀）（x₁-0）+
（y₁-y₀）（y₁-0）=0，因為x₁²+y₁²=r²，所以x₀x₁+y₀y₁=r²，同理x₀x₂+y₀y₂=r²．所以過點A，B的直線方程為xx₀+yy₀=r²．再由直線AB過點P（a，b），代入即可得到Q的軌跡方程．

解答： 解：圓C：x²+y²=r²的圓心C為（0，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），
因為AQ與圓C相切，所以AQ⊥CA．  
所以（x₁-x₀）（x₁-0）+（y₁-y₀）（y₁-0）=0，
即x₁²-x₀x₁+y₁²-y₀y₁=0，
因為x₁²+y₁²=r²，
所以x₀x₁+y₀y₁=r²，
同理x₀x₂+y₀y₂=r²．
所以過點A，B的直線方程為xx₀+yy₀=r²．
因直線AB過點（a，b）．
所以代入得ax₀+by₀=r²，
所以點Q的軌跡方程為：ax+by=r²．

點評：本題考查的知識點是直線與圓的位置關(guān)系，考查切線的性質(zhì)，直線方程，點與直線的位置關(guān)系，其中根據(jù)已知結(jié)合切線的性質(zhì)，得到過點A，B的直線方程為xx₀+yy₀=r²，是解答的關(guān)鍵．