Question

4．質(zhì)檢部門對(duì)某品牌的小袋裝春茶產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，從抽檢的十袋一盒的盒裝茶葉中任取兩袋進(jìn)行檢測(cè)，首先測(cè)茶葉的重量，在重量符合標(biāo)準(zhǔn)的情況下，再對(duì)茶葉的農(nóng)藥殘留量進(jìn)行檢測(cè)，兩項(xiàng)均符合標(biāo)準(zhǔn)定為合格產(chǎn)品，否則定為不合格產(chǎn)品，若兩袋均合格，方可上架銷售，檢測(cè)時(shí)只要檢測(cè)出不合格產(chǎn)品，則停止檢測(cè)，該批產(chǎn)品禁止上架銷售，現(xiàn)已知抽檢的十袋茶葉中，有一袋茶葉的重量不符合標(biāo)準(zhǔn)但農(nóng)藥殘留量達(dá)標(biāo)，有一袋茶葉的茶葉重量符合標(biāo)準(zhǔn)但農(nóng)藥殘留量超標(biāo)，其余8袋均合格．
（Ⅰ）求這批茶葉被定為不合格產(chǎn)品的概率；
（Ⅱ）若檢測(cè)茶葉重量每次需費(fèi)用10元，檢測(cè)農(nóng)藥殘留量每次需費(fèi)用100元，設(shè)完成這批茶葉檢測(cè)所需費(fèi)用為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出這批茶葉被定為不合格產(chǎn)品的概率．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為10，110，120，220，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）∵從抽檢的十袋一盒的盒裝茶葉中任取兩袋進(jìn)行檢測(cè)，
抽檢的十袋茶葉中，有一袋茶葉的重量不符合標(biāo)準(zhǔn)但農(nóng)藥殘留量達(dá)標(biāo)，
有一袋茶葉的茶葉重量符合標(biāo)準(zhǔn)但農(nóng)藥殘留量超標(biāo)，其余8袋均合格，
∴這批茶葉被定為不合格產(chǎn)品的概率：
p=1-$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{17}{45}$．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為10，110，120，220，
P（ξ=10）=$\frac{1}{10}$，
P（ξ=110）=$\frac{1}{10}$，
P（ξ=120）=$\frac{8}{10}×\frac{1}{9}$=$\frac{4}{45}$，
P（ξ=220）=$\frac{8}{10}×\frac{1}{9}+\frac{8}{10}×\frac{7}{9}$=$\frac{32}{45}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	10	110	120	220
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{4}{45}$	$\frac{32}{45}$

Eξ=$10×\frac{1}{10}+110×\frac{1}{10}+120×\frac{4}{45}+220×\frac{32}{45}$=$\frac{1612}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．