Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立坐標(biāo)系，已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）曲線C的極坐標(biāo)方程為4ρcos²θ-sinθ=0．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，P（0，1），求||PA|-|PB||．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的極坐標(biāo)方程為4ρcos²θ-sinθ=0．即4ρ²cos²θ-ρsinθ=0．利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為標(biāo)準方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$．代入拋物線方程可得：2t²-$\sqrt{3}$t-2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：||PA|-|PB||=|-t₁-t₂|=|t₁+t₂|．

解答 解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程為4ρcos²θ-sinθ=0．即4ρ²cos²θ-ρsinθ=0．
利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：4x²=y．
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為標(biāo)準方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$．
代入拋物線方程可得：2t²-$\sqrt{3}$t-2=0，
∴t₁+t₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，t₁t₂=-1，
∴||PA|-|PB||=|-t₁-t₂|=|t₁+t₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、三角函數(shù)求值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．