Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1-x}{ax}$，（a＞0）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，從而求出切線方程即可；
（2）求導(dǎo)，將函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增化為導(dǎo)數(shù)恒不小于0，從而求a的取值范圍；
（3）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的單調(diào)性，從而確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

解答 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{1-x}{2x}$，（x＞0），且f（1）=0，
又∵f（x）=$\frac{2x-1}{{2x}^{2}}$，（x＞0），
∴f（x）在x=1處的切線斜率為f′（1）=$\frac{1}{2}$，
故切線的斜率為y=$\frac{1}{2}$（x-1），
即x-2y-1=0；
（2）由題意，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{ax}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$，
∵a為大于零的常數(shù)，
若使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
則使ax-1≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
即a-1≥0，故a≥1；
（3）①當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
則f_min（x）=f（1）=0；
②當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）在區(qū)間[1，2]恒不大于0，
f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
則f_min（x）=f（2）=ln2-$\frac{1}{2a}$；
③當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，令f′（x）=0可解得，x=$\frac{1}{a}$∈（1，2）；
易知f（x）在區(qū)間[1，$\frac{1}{a}$]單調(diào)遞減，在[$\frac{1}{a}$，2]上單調(diào)遞增，
則f_min（x）=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$+1-$\frac{1}{a}$；
綜上所述，
①當(dāng)a≥1時(shí)，f_min（x）=0；
②當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，f_min（x）=ln$\frac{1}{a}$+1-$\frac{1}{a}$；
③當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f_min（x）=ln2-$\frac{1}{2a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．