Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}中的元素都是正整數(shù)，且a₁＜a₂＜…＜a_n，對任意的x，y∈A，且x≠y，都有．
（1）求證：；（提示：可先求證（i=1，2，…，n-1），然后再完成所要證的結(jié)論．）
（2）求證：n≤11；
（3）對于n=11，試給出一個滿足條件的集合A．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意有（i=1，2，…，n-1），由此能夠推導(dǎo)出．
（2）由，a₁≥1，得，導(dǎo)出n＜37．由此能夠推導(dǎo)出，從而能夠證明n≤11．
（3）由，，，，，，設(shè)a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，a₆=6，由此能夠推導(dǎo)出滿足條件的一個集合A．
解答：證明：（1）依題意有（i=1，2，…，n-1），
又a₁＜a₂＜…＜a_n，
∴，
∴（i=1，2，…，n-1）．…（2分）
∴，
故．…（4分）
（2）由（1）得，
又由a₁≥1，得，因此n＜37．…（5分）
同理，，知．又a_i≥i，得．…（7分）
∴i（n-i）＜36（i=1，2，…，n-1）都成立．…（8分）
當(dāng)n≥12時，取i=6，則i（n-i）=6（n-6）≥36，與i（n-i）＜36不符，
∴n＜12．…（9分）
又當(dāng)n≤11時，，符合題意，
∴n≤11．…（10分）
（3）由（1）可知，，
∵，，，，，
∴可設(shè)a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，a₆=6．…（12分）
由，可得，取a₇=8；…（13分）
由，可得，取a₈=11；…（14分）
由，可得，取a₉=16；…（15分）
由，可得，取a₁₀=29；…（16分）
由，可得，取a₁₁=150；…（17分）
∴滿足條件的一個集合A={1，2，3，4，5，6，8，11，16，29，150}（答案不唯一）．…（18分）
說明：也有同學(xué)在第（2）小題的證明過程中，
先逐一求得a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，a₆=6，a₇=8，a₈=11，a₉=16，a₁₀=29，a₁₁=150，
然后由，得，
∴a₁₂不存在，即n≤11．…（20分）
點評：本題考查不等式的證明，考查滿足條件的集合的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運用．