Question

14．關(guān)于x的方程lg（x-1）+lg（3-x）=lg（a-x），其中a是實(shí)常數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解上述方程
（2）根據(jù)a的不同取值，討論上述方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)數(shù)的含義及運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為二次方程的解，解出即可；（2）由對(duì)數(shù)的含義及運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為二次方程的解得問題處理即可，注意定義域．

解答 解：（1）a=2時(shí)，lg（x-1）+lg（3-x）=lg（2-x），x∈（1，2），
故（x-1）（3-x）=2-x，整理得：x²-5x+5=0，
△=25-20=5＞0，
x=$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$，∵x∈（1，2），
故x=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$；
（2）由題意x-1＞0且3-x＞0，所以1＜x＜3，
又lg（x-1）+lg（3-x）=lg（x-1）（3-x）=lg（a-x）
所以（x-1）（3-x）=a-x在1＜x＜3上有兩個(gè)實(shí)根，
即判斷x²-5x+a+3=0在（1，3）上個(gè)實(shí)根的個(gè)數(shù)．
所以a=-x²+5x-3，x∈（1，3），
令f（x）=-x²+5x-3，x∈（1，3），

f（1）=1，f（3）=3，f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{13}{4}$，
當(dāng)1＜a≤3，或a=$\frac{13}{4}$時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根，
當(dāng)3＜a＜$\frac{13}{4}$時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)根，
當(dāng)a＞$\frac{13}{4}$，a＜1時(shí)，方程無實(shí)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次方程實(shí)根分布問題、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，同時(shí)考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．