Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），S_n為其前n項和．?dāng)?shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且b₁=a₁，b₄=S₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}$，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求證：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用“裂項求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可證明．

解答 解：（Ⅰ）由已知得 $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}是以為1首項，2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=2^n-1．
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵b₁=a₁=1，b₄=S₃=1+2+2²=7，
∴7=1+3d，解得d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得設(shè)c_n=$\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
∵數(shù)列$\{-\frac{1}{2n+1}\}$單調(diào)遞增，
∴$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項求和”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．