Question

20．對(duì)于函散y=f（x）（x∈D），若同時(shí)滿足以下條件：
①f（x）在D上單調(diào)遞增或單凋遞減：
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)y=f（x）是閉函數(shù)．
給出下面四個(gè)函數(shù)：
（1）f（x）=x³，x∈R；
（2）f（x）=2^x-1．x∈R；
（3）f（x）=x²-4x+5，x∈[0，2]；
（4）f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，x∈[0，1]，
其中為閉函數(shù)的有（1）（2）（3）（4）（把你認(rèn)為正確的函數(shù)序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 根據(jù)閉函數(shù)的定義，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合定義域和值域的關(guān)系確定是否存在滿足條件的區(qū)間[a，b]即可．

解答 解：f′（x）=3x²≥0，∴f（x）=x³在R上是增函數(shù)，
設(shè)f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（a）={a}^{3}=a}\\{f（b）=^{3}=b}\\{a＜b}\end{array}\right.$，則當(dāng)a=-1，b=1時(shí)，滿足條件．
∴存在區(qū)間[-1，1]⊆R，
使f（x）在[-1，1]上的值域也是[-1，1]
∴函數(shù)f（x）=x³是閉函數(shù)．
（2）f（x）=2^x-1在R上是增函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（a）={2}^{a}-1=a}\\{f（b）={2}^-1=b}\end{array}\right.$，則當(dāng)a=0，b=1時(shí)，滿足條件．
即f（x）=2^x-1．x∈R在[0，1]上是閉函數(shù)．
（3）f（x）=x²-4x+5=（x-2）²+1，
則函數(shù)在x∈[0，2]是減函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=2，當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=1，
即存在區(qū)間[1，2]滿足條件，即f（x）=x²-4x+5，在[1，2]上是閉函數(shù)；
（4）當(dāng)x∈[0，1]，則x∈[0，$\frac{π}{2}$]，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)閇0，1]，即f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，存在區(qū)間[0，1]使得函數(shù)f（x）是閉函數(shù)，
綜上為閉函數(shù)的（1）（2）（3）（4），
故答案為：（1）（2）（3）（4）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，涉及新定義，根據(jù)條件進(jìn)行推理判斷是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．