Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2-x}{x+1}$．
（1）判斷函數(shù)g（x）=f（x-1）+1的奇函數(shù)，并說明理由；
（2）用減函數(shù)的定義證明f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)；
（3）求證：曲線y=a^x（a為常數(shù)，且a＞1）與曲線y=f（x）有交點(diǎn)，且兩曲線的交點(diǎn)不可能落在y軸的左側(cè)．

Answer 1

分析 （1）先求出g（x）的表達(dá)式，根據(jù)奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）任取x₁，x₂∈（-1，0），且x₁＜x₂，作差得：f（x₁）-f（x₂）＞0，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
（3）先根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理得到函數(shù)有零點(diǎn)，即曲線y=a^x（a是常數(shù)，a＞1）與曲線y=f（x）有交點(diǎn)，假設(shè)兩曲線的交點(diǎn)落在y軸的左側(cè)，
法一：通過討論x₀的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，推出矛盾，法二：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為0＜$\frac{2{-x}_{0}}{{x}_{0}+1}$＜1（*），通過解不等式，推出矛盾，從而得到答案．

解答 解：（1）g（x）=f（x-1）+1=$\frac{2-（x-1）}{（x-1）+1}$+1=$\frac{3}{x}$，
∵函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）且g（-x）=-$\frac{3}{x}$=-g（x），
∴函數(shù)g（x）是奇函數(shù)；
（2）f（x）=$\frac{2-x}{x+1}$=$\frac{3}{x+1}$-1，
任取x₁，x₂∈（-1，0），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$（\frac{3}{{x}_{1}+1}-1）$-$（\frac{3}{{x}_{2}+1}-1）$=$\frac{3{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$，
由-1＜x₁＜x₂＜0，得：x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即：f（x₁）＞f（x₂），
根據(jù)減函數(shù)的定義，f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)；
（3）曲線y=a^x（a＞1）與曲線y=f（x）有交點(diǎn)
?函數(shù)h（x）=a^x-$\frac{2-x}{x+1}$有零點(diǎn)，
∵h(yuǎn)（0）=1-$\frac{2}{1}$=-1＜0，h（1）=a-$\frac{1}{2}$＞0，
又函數(shù)h（x）在[0，1]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，
∴h（x）在（0，1）上有零點(diǎn)，
因此，曲線y=a^x（a是常數(shù)，a＞1）與曲線y=f（x）有交點(diǎn)，
下面證明兩曲線的交點(diǎn)不可能落在y軸的左側(cè)，
解法一：假設(shè)存在兩曲線的交點(diǎn)在y軸的左側(cè)，
則存在x₀＜0（x₀≠-1），使得f（x₀）=${a}^{{x}_{0}}$，
①當(dāng)-1＜x₀＜0時(shí)，由f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)，得f（x₀）＞f（0）=2，
∵函數(shù)y=a^x（a＞1）在（-1，0）上為增函數(shù)，∴${a}^{{x}_{0}}$＜a⁰，即${a}^{{x}_{0}}$＜1，
∴f（x₀）＞${a}^{{x}_{0}}$，這與f（x₀）=${a}^{{x}_{0}}$矛盾；
②當(dāng)x₀＜-1時(shí)，2-x₀＞0，x₀+1＜0，則f（x₀）=$\frac{2{-x}_{0}}{{x}_{0}+1}$＜0，
而${a}^{{x}_{0}}$＞0，∴f（x₀）＜${a}^{{x}_{0}}$，這與f（x₀）=${a}^{{x}_{0}}$矛盾，
綜上，曲線y=a^x（a＞1）與曲線y=f（x）的交點(diǎn)不可能落在y軸的左側(cè)；
解法二：假設(shè)存在兩曲線的交點(diǎn)在y軸的左側(cè)，
則存在x₀＜0（x₀≠-1），使得f（x₀）=${a}^{{x}_{0}}$，
又y=a^x（a＞1）在R上是增函數(shù)，∴0＜${a}^{{x}_{0}}$＜a⁰，即0＜${a}^{{x}_{0}}$＜1，
于是：0＜$\frac{2{-x}_{0}}{{x}_{0}+1}$＜1（*），
∵x₀＜0，∴2-x₀＞0，從而由不等式（*）得：x₀+1＞0，且2-x₀＜x₀+1，
于是，x₀＞$\frac{1}{2}$，這與x₀＜0矛盾，
∴假設(shè)不成立，從而要證的結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性，定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道中檔題．