Question

17．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）若a=-2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意x＞0的條件．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx+2x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$+2，
曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為1+2=3，切點(diǎn)為（1，2），
可得曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y-2=3（x-1），
即為3x-y-1=0；
（2）函數(shù)f（x）=lnx-ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，x＞0，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x＞$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減；
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增．
綜上可得，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的思想方法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．