Question

2．如圖，四棱錐O-ABCD中，AC垂直平分BD，|$\overrightarrow{OB}$|=2，|$\overrightarrow{OD}$|=1，則（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OD}$）的值是3．

Answer 1

分析 設(shè)AC、BD交于點(diǎn)E，由題意$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{DB}$，由此即可求出（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OD}$）的值．

解答 解：如圖所示，
四棱錐O-ABCD中，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)E，
由題意AC⊥BD，DE=BE，
∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{DB}$=0；
又|$\overrightarrow{OB}$|=2，|$\overrightarrow{OD}$|=1，
∴（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OD}$）=（$\overrightarrow{OE}$+$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{OE}$+$\overrightarrow{EC}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OD}$）
=（2$\overrightarrow{OE}$+$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{EC}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OD}$）
=2$\overrightarrow{OE}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OD}$）+（$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{EC}$）•$\overrightarrow{DB}$
=（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OD}$）
=${\overrightarrow{OB}}^{2}$-${\overrightarrow{OD}}^{2}$
=2²-1²
=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．