Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}}\right.$，在以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=3．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若P（-1，2），直線l與曲線C分別交于M，N兩點，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （I）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}}\right.$，消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=3，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（II）直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程可得：t²+（2-$\sqrt{3}$）t-4=0，可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|．

解答 解：（I）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}}\right.$，消去參數(shù)t可得普通方程：x+$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$+1=0．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=3，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=9．
（II）直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程可得：t²+（2-$\sqrt{3}$）t-4=0，
∴t₁t₂=-4．
∴|PM|•|PN|=|t₁t₂|=4．

點評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化公式、參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．